Производящая функция моментов - это функция, которая служит альтернативным способом задания распределения вероятностей случайной величины.
Идея моментов
Математическое ожидание и дисперсия - это разные моменты случайной величины. Моменты - это числовые характеристики, которые описывают форму распределения случайной величины.
Первый момент относительно начала координат связан со вторым моментом относительно среднего.
Производящая функция моментов
Производящая функция моментов - это функция, которая собирает все моменты в одну формулу.
Здесь, технический параметр нужен только для удобства вычисления моментов.
Производящая функция моментов существует только если в какой-то окрестности нуля.
Свойства производящей функции моментов
Если случайные величины независимы, то производящая функция моментов суммы независимых величин перемножаются.
Это удобно, потому что считать сумму случайных величин напрямую сложно, а перемножить две функции легко.
Например, для экспоненциального распределения производящая функция моментов равна 1 / (1 - т).
Первый момент: 1 / лямбда, второй момент: 2 / лямбда^2, тогда дисперсия: 1 / лямбда^2.